Reelle Zahlen

Die reellen Zahlen werden durch drei Eigenschaften oder Axiome beschrieben bzw. definiert:

1. Körperaxiome
2. Anordnungsaxiome
3. Vollständigkeitsaxiom

Die Körperaxiome definieren die vier Grundrechenarten der reellen Zahlen: Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division.
In den Körperaxiomen selbst wird nur die Addition und die Multiplikation charakterisiert.
Die Subtraktion und die Division werden anschließend über gesonderte Definitionen eingeführt.

Auf der Menge der reellen Zahlen ℝ sind zwei (zweistellige) Verknüpfungen definiert:

• eine Verknüpfung der Addition: $+ : ℝ×ℝ→ℝ$
• eine Verknüpfung der Multiplikation: $⋅ : ℝ×ℝ→ℝ$

• (A1) Assoziativgesetz der Addition: Für alle reellen Zahlen $𝑥,𝑦,𝑧$ gilt $𝑥+(𝑦+𝑧)=(𝑥+𝑦)+𝑧$.
• (A2) Kommutativgesetz der Addition: Für alle reellen Zahlen $𝑥$ und $𝑦$ gilt $𝑥+𝑦=𝑦+𝑥$.
• (A3) Existenz der Null (neutrales Element): Es gibt mindestens eine reelle Zahl $0 ∈ ℝ$, für die $0+𝑥=𝑥$ für alle reellen Zahlen $𝑥$ gilt.
• (A4) Existenz des Negativen (inverses Element): Für jede reelle Zahl $𝑥$ gibt es mindestens eine reelle Zahl $−𝑥$ mit $𝑥+(−𝑥)=0$.

• (M1) Assoziativgesetz der Multiplikation: Für alle reellen Zahlen $𝑥,𝑦,𝑧$ gilt $𝑥⋅(𝑦⋅𝑧)=(𝑥⋅𝑦)⋅𝑧$.
• (M2) Kommutativgesetz der Multiplikation: Für alle reellen Zahlen $𝑥$ und $𝑦$ gilt $𝑥⋅𝑦=𝑦⋅𝑥$.
• (M3) Existenz der Eins (neutrales Element): Es gibt mindestens eine reelle Zahl $1 ∈ ℝ$ mit $1≠0$, für die $1⋅𝑥=𝑥$ für alle reellen Zahlen $𝑥$ gilt.
• (M4) Existenz des Inversen (inverses Element): Für jede reelle Zahl $𝑥≠0$ gibt es mindestens eine reelle Zahl $x^{-1}$ mit $𝑥⋅𝑥^{-1}=1$.

• (D) Für alle reellen Zahlen $𝑥,𝑦,𝑧$ gilt $𝑥⋅(𝑦+𝑧)=𝑥⋅𝑦+𝑥⋅𝑧$.

• $- : ℝ×ℝ→ℝ : (𝑥,𝑦)↦𝑥−𝑦:=𝑥+(−𝑦)$
• $÷:ℝ×ℝ∖\{0\}→ℝ : (𝑥,𝑦)↦𝑥÷𝑦:=𝑥⋅𝑦^{-1}$

Die Subtraktion ist damit die Addition des Negativen einer Zahl und die Division die Multiplikation mit dem Inversen einer Zahl.